Institut für Rechnergestützte Ingenieursysteme

Umgang mit lokalen Optima: Geometrisches Constraint-Lösungs- und Modellierungssystem für 5-Achsen Antwortoberfläche

D. Roller , B. K. Ane

Der Ansatz der variationalen Geometrie wird oft im Rahmen der rechnergestützten geometrischen Konstruktion (CAGD) benutzt. Dabei geht es z.B. um die Maßeinschränkung
von Freiformengeometrie, um die Reihenfolge bei der Lösung geometrischer Constraint- Probleme, um Formen für Teilefamilien zu generieren und um flexible Änderungen der Maße und Funktionen zu ermöglichen.
Während der Gestaltsoptimierung ist eine wesentliche Arbeit des Ingenieurs die Wahl von Parametern. In dieser Hinsicht ist einer der bekannten Techniken für eine robuste
Konstruktion die Methode der Antwortoberfläche (RSM: Response Surface Methodology). Diese Technik wird verwendet, um eine möglichst gute Parametergestaltung zu identifizieren, sowie die optimalen Einstellungen auszuwählen und sie unterstützt es, einen Kompromiss im Falle von widersprüchlichen Anforderungen zu finden.

Problemstellung

Seither gibt es praktisch keine Forschungsaktivität zur Verbesserung der Fähigkeit der RSM. Die Fähigkeit ist begrenzt auf E3 Kartesische Räume mit zwei Behandlungsfaktoren. Die Analyse einer Antwortfunktion von mehr als zwei Faktoren führt zum Problem der übermäßigen Beobachtungen, sowie zur Unfähigkeit die Antworten visuell zu analysieren.
Wenn sich die Zahl der Faktoren erhöht, ergibt sich außerdem eine immer höhere Wahrscheinlichkeit bei Antworten auf Punkte gleicher Entfernung vom Gestaltungszentrum nicht die gleiche Präzision zu erreichen. Das bedeuted die Gefahr, in die Falle von "lokalen Optima" zu fallen.

Forschungsziel

Zur Verbesserung der Fähigkeiten der RSM, wird ein Forschungsprojekt“ Umgang mit Lokalen Optima: Geometrisches Constraint-Lösungs und Modellierungsystem für 5-Achsen Antwortoberfläche“ mit dem Ziel verfolgt, ein geometrisches Modellierungssystems für die 5- Achsen Antwortoberfläche zu entwickeln.

Methodologie

Das Projekt besteht aus folgenden vier Phasen:

Phase 1: Der Versuchsplan

Die Ziele sind dabei eine orthogonale und drehbare Gestaltung von „orthogonalen Arrays“ (OA) L9 (34) zu entwickeln und ein fundamentales Konzept für die 5-Achsen Antwortoberfläche auf drehbaren OA L9 (34) basierend zu entwickeln. Ein orthogonales Array, oder Taguchi Methode, ist ein typisches Design für Experimente, in denen die Spalten von unabhängigen Variablen "orthogonal" zu anderen sind.

Phase 2: Die Mathematische Modellierung

Das Ziel ist es, Zuverlässigkeit bei der Kartierung der Oberfläche in der Nähe der Optima zu verbessern. Dazu ist die Entwicklung eines numerischen Modells basierend auf der Methode des steilsten Anstiegs vorgesehen.

Phase 3: Die geometrische Modellierung

Diese Phase besteht aus drei Prozessen:

a) Punkte-Identifizierung

Die Identifizierung der Punkte basiert auf dem Transformation Algorithmus (Ane, Roller, and Watanabe, 2006). Der Algorithmus basiert auf dem Faktor-Level und darauf, die Antwortoberfläche in einer codierten Skalierung, sowie die Koordinaten der Oberfläche im 5- Achsen sphärischen Raum zu identifizieren.

nicht drehbare OA L 9(3 4)

5-Achsen drehbare OA L 9(3 4)

Abbildung 1: Fundamentales Konzept der 5-Achsen-Antwortoberfläche

b) Fitting der Antwortoberfläche

Das Fitting verwendet den deBoor-Algorithmus auf B-Spline-Kurven basierend, was einer Verallgemeinerung des Bezier Ansatzes entspricht. Die Kurve verwendet Mischungsfunktionen, um den Einfluss von einer Reihe parametrischer Knoten zu kombinieren, so dass eine "lokale Kontrolle" von Kurvenformen zur Verfügung gestellt wird.

Abbildung 2. Anwendung des deBoor Algorithmus

Notiz: P_i¹ errechnet sich aus P_i⁰ 0 oder den Kontrollpunkten, P_i² errechnet aus P_i¹ , und so weiter, bis P₀ⁿ erhalten, anschließend ist P₀ⁿ der Wert von P(u).

c) Einpassung der Oberfläche

Die Einpassung der Oberfläche verwendet alle E²- und E³-willkürlichen oder regelmäßigen Profile basierend auf dem B-Spline Ansatz.

Abbildung 3. B-Spline Antwortoberfläche

Notiz: Die B-Spline Oberfläche entspricht einem charakteristischen Polyeder und führt durch die Eckpunkte der Polyeder, wo die Kanten tangential zu den Kanten des Polyeder sind.

Phase 4: Die Simulation und Programmierung.

Ziel ist es, alle Algorithmen von der Punkteidentifizierung, Fitting der Antwortoberfläche, bis zur Einpassung der Oberfläche zu synthetisieren, in ein integriertes geometrisches Modellierungssystem für die 5-Achsen Antwortoberfläche einzubringen, sowie ein prototypisches Softwaresystem dazu aufzubauen.